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By Jean-Michel Bony

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22. :::11::1 = 1} le cercle unité cIu plan complexe. :-J Sur r). Les fonctions F continlles sur [ s'identifiant aux fonctions f continues 2iT-périodiques Sur iR. (l'Il posant f(t) = F(e it )), il en résult:e que pour t:oui'·p fonction continue 2iT-périodiqlll' J, il exÎste une suite P Il (k polynômes trigonométriques (c'est-à-dire de fonctions de la. fonne 1:~]J On cint ) qui converge uniforlll<~meIÜ vers f. :12 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE GÉNÉRALE ET ESPACES FONCTIONNELS Là encore, on ne confondra pas cette propriété avec le fait que la série de Fourier de converge unifonnémcnt (ce qui n'est pas vrai pour toute fonction continue pôriodique).

D 2 ) espaces x E2 nnilli de la distance luétriques. Leur produit est renselllble produit; d( (:Z:1, :];2), C'J1, Y2)) Une application f à valeur dans un Gspace produit achnct deux cOlllposantes fI à valeur dans El et f2 à valeur dans E').. Pour que f soit continue, il faut et il suffi t que fI et f2 soient continues. Si (E, ri) est un espace lllétl'ique, rapplication (:1:, y) H d(a;l y) est continue de E x E dans IR.. Pour tout point :z:o de E, rapplication ;z: H d(:z:o, :1;) est continue de E dans 1ft Il en est de mènw, pour tout sons-ensernble A # 0 de E, de l'application ~l: H d(:u, A), où la distance :/: à Z'ensernble A est définie par d(:1;, A) = ÎnfyEA d(:c, y).

Fonne 1:~]J On cint ) qui converge uniforlll<~meIÜ vers f. :12 CHAPITRE 2. TOPOLOGIE GÉNÉRALE ET ESPACES FONCTIONNELS Là encore, on ne confondra pas cette propriété avec le fait que la série de Fourier de converge unifonnémcnt (ce qui n'est pas vrai pour toute fonction continue pôriodique). f C. Partitions de l'unité Il s'agit d\ule prenIÎère approche de concepts qui nous seront utiles ultéluais dans IRII et pour des fonctions différentiables. héorie est toutefois de nature pureinellt topologique.

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